Пользовательского поиска
|
Термин «рациональное» (число) происходит от
латиноамериканского слова ratio – отношение, которое
является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел,
числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности
иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда,
первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и
соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли
выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными.
В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на
латынь словами rationalis
и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в.
другой римский автор- Боэций.
Древнегреческие математики классической эпохи
пользовались только рациональными
числами (вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид
излагает учение об иррациональностях чисто геометрически.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока,
развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных
величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки
называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа,
«алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на
латынь перевели это слово латинским словом
surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой
впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика
математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского
математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в.
Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский
математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали
понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа.
Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных,
иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел
существует такое совершенство и
согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной
закономерностью.»
Еще до Бомбелли и Стевина многие
ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа
как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и
исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически
расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же
направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII
в. ат-Туси.
Математики и астрономы Ближнего и
Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи
широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с
которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с
шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел
десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения
корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные
дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.)
показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого
приближения к действительному числу.
Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том,
что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия
иррационального числа являются десятичные дроби. Появление
«Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых
отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это
геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и
способствовало их признанию.
В
современных учебных руководствах
основа определения иррационального числа
опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о
неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных
дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их
была разработана лишь в XIX в.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1.
Равносильные уравнения. Следствия уравнений.
При
решении уравнений выполняются различные
тождественные преобразования над выражениями, входящими в уравнение. При этом
исходное уравнение изменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения
называются равносильными.
Определение: Уравнение f(x)=g(x) равносильно
уравнению f1(x)=g1(x), если каждый
корень первого уравнения является корнем второго и обратно, каждый корень
второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.
Например, уравнения
3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к.
каждое из уравнений имеет один корень х=2.
Любые
два уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.
Тот факт, что
уравнения f(x)=g(x) и
f1(x)=g1(x) равносильны, обозначают так:
f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)
В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях
данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема 1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство:
Докажем,
что уравнение f(x) =
g(x)+q(x) (1)
равносильно
уравнению
f(x) – q(x) =
g(x) (2)
Пусть х=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a) . Но тогда по свойству
действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее, что а – корень уравнения (2).
Аналогично доказывается, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1).
Что и требовалось доказатью.
Теорема 2: Если обе части уравнения
умножить или разделить на отличное от нуля число, то получим уравнение,
равносильное данному.
Доказательство: докажем, что уравнение 6х–3=0
равносильно уравнению 2х–1=0
решим уравнение 6х–3=0
и уравнение 2х–1=0
6х=3 2х=1
х=0,5 х=0,5
так как корни уравнений равны,
то уравнения равносильны.
Что и
требовалось доказать.
Рассмотрим уравнение
ОДЗ этого уравнения {х
≠ 1, х ≠ -3}
Мы знаем, что дробь равна нулю в том
случае, когда ее числитель равен нулю, т.е. х²+х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х²+х–2=0, находим корни х1=1, х2 = –2 . Но число 1 не
входит в ОДЗ данного уравнения и значит, исходное уравнение имеет один
корень х=-2.
В этом случае говорят, что уравнение х²+х–2=0, есть следствие уравнения
пусть даны два уравнения:
f1 (x) = g1 (x) (3)
f2 (x) = g2 (x) (4)
Если
каждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4)
называют следствием уравнения (3).
Этот факт
записывают так:
В том случае, когда уравнение (3) - есть также следствие уравнения (4),
эти уравнения равносильны.
Два уравнения равносильны в том, и только в
том случае, когда каждое из них является следствием другого.
В приведенном выше
примере уравнение – следствие
х²+х–2=0, имеет два корня x1=1 и х2 =-2, а исходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называют посторонним для исходного
уравнения
В общем случае корни
уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходного уравнения, называют
посторонними.
Итак, если при решении уравнения
происходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонние
корни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляя
их в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корней
облегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ,
можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 не входит в ОДЗ уравнения
и потому отброшен.
Иногда посторонние корни могут появиться и при
тождественных преобразованиях, если они приводят к изменению ОДЗ уравнения.
Например, после приведения подобных членов в левой части уравнения
ОДЗ которого {х ¹-2},
получим
уравнение следствие х²-4=0 имеющее
два корня х1 = 2, х2 = -2 корень х2 = -2 – посторонний, так как не входит в ОДЗ исходного
уравнения.
В тех
случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходного
уравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.
Например,
уравнение (х+1)(х+3)= х+1 (5)
Имеет два корня. Действительно,
перенося все члены уравнения в левую часть и вынося х+1 за скобки, получим (х+1)(х+2)=0,
откуда находим х1=-1, х2=-2 .
Если
же обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнение х+3=1,
имеющее один корень х=-2. В
результате такого преобразования корень х=-1 потерян. Поэтому делить обе части
уравнения на выражение, содержащее переменную, можно лишь в том случае, когда
это выражение отлично от нуля.
Для
того, чтобы в процессе решения уравнения
избежать потери корней, необходимо следить за тем, чтобы переход
осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либо к уравнениям-следствиям.
2.2. Определение иррациональных уравнений.
Иррациональными называются
уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком
операции возведения в дробную степень.
Например:
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
3.1. Решение иррациональных уравнений методом
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Возведем обе части уравнения (1) в квадрат:
далее
последовательно имеем:
5х – 16 = х² - 4х + 4
х² - 4х + 4 – 5х + 16 =
0
х² - 9х + 20 = 0
Проверка:
Подставив х=5 в уравнение (1), получим – верное
равенство. Подставив х= 4 в уравнение (1),
получим – верное равенство. Значит оба найденных
значения – корни уравнения.
Ответ: 4; 5.
Пример
№2
Решить уравнение:
(2)
Решение:
Преобразуем
уравнение к виду:
и применим метод возведения в квадрат:
далее последовательно получаем.
Разделим обе части
последнего уравнения почленно на 2:
еще раз применим метод
возведения в квадрат:
далее находим:
9(х+2)=4–4х+х²
9х+18–4+4х-х²=0
-х²+13х+14=0
х²-13х–14=0
х1+х2 =13 х1 =19
х1 х2 = -14 х2 = -1
по
теореме, обратной теореме Виета, х1=14, х2 = -1
корни
уравнения х²-13х–14 =0
Проверка:
подставив значение х=-14 в уравнение
(2), получим–
-
не верное равенство. Поэтому х = -14
– не корень уравнения (2).
3.2 Метод введения новых переменных.
Решение:
Конечно, можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных.
Введем новую переменную Тогда получим 2y²+y–3=0
– квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни:
Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не
может
быть отрицательным числом . А - верное равенство, значит x=1- корень
уравнения.
Ответ: 1.
3.3.
Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений.
Решить
уравнение:
(1)
Решение:
сопряжённое
выражению
Так
как
То уравнение (1) примет вид:
Или
Произведение равно нулю
тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при
этом известен. Тогда x1=0.Остаётся
решить уравнение:
(2)
Сложив
уравнения (1) и (2), придём к уравнению
(3)
Решая
уравнение (3) методом возведения в квадрат, получим:
Проверка:
x1=0, x2=4, x3= -4 подставим
в уравнение
1)
- не верное равенство, значит x1=0- не корень уравнения.
2)
- верное равенство, значит x2=4- корень
уравнения.
3)
- не верное равенство, значит x3= -4- не корень уравнения.
Ответ:
4.
Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в квадрат (или n-ую степень) или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственными приемами решения иррациональных уравнений.
СПИСОК
ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
1) А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений - Москва: Издательство «Мнемозина», 1999.
2) М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике
- Москва: Издательство «Наука», 1986.
3)
А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство
«Педагогика», 1989.
4)
А.И.Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика», 1972.
5)
Н.Я.Виленкин. Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов
с углубленным изучением изучением математики – Москва: Издательство
«Просвещение», 1998.