Р Е
Ф Е Р
А Т
на тему
:
“ Динамическое
представление сигналов “
Выполнил: Зазимко С.А.
Принял :
Котоусов А.С.
МОСКВА
Динамическое представление сигналов.
Многие
задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для
решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением
сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в
“прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП
ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный
способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых
элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь,
если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в
пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания
сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая
тем самым развивающийся во времени характер процесса.
На
практике широкое применение нашли два способа динамического
представления.
Первый
способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции,
которые возникают через равные промежутки времени D . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на
интервале времени D. В результате сигнал может быть
представлен как на рисунке 1.
рис. 1
При втором
способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти
импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность,
вписанную в кривую или описанную вокруг нее .
В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
рис. 2
Теперь
рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для
динамического представления по первому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал,
математическая модель которого выражается системой :
ì 0, t < -x,
u(t) =
í 0.5(t/x+1), -x £ t £ x, (1)
î 1, t > x.
Такая функция
описывает процесс перехода
некоторого физического объекта из
“нулевого” в “единичное” состояние.
Переход
совершается по линейному закону за время 2x. Теперь если
параметр x устремить к нулю, то в
пределе переход из одного состояния в другое
будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного
сигнала получила название функции включения или
функции Хевисайда :
ì 0, t
< 0,
s(t) = í 0.5, t = 0, (2)
î 1, t
> 0.
В общем
случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени
на величину t0. Запись смещенной функции такова :
ì 0, t < t0,
s(t - t0) = í 0.5, t = t0, (3)
î 1, t
> t0.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим
некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0
при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} -
последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} -
отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение
сигнала есть S0=S(0), то текущее значение
сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы
ступенчатых функций :
¥
s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD).
k=1
· Если теперь шаг D устремить к
нулю. то дискретную переменную kD можно заменить непрерывной
переменной t. При этом малые
приращения значения сигнала превращаются
в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического
представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
¥
ó ds
S(t)=s0
s(t) + ô s(t-t) dt (4)
õ dt
0
Переходя
ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами
разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие -
понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим
импульсный сигнал прямоугольной формы,
заданный следующим образом :
1 é x
x ù
u(t;x) = ----- ê s (t + ----
) - s (t - ----
) ÷ (5)
x ë
2 2 û
При
любом выборе параметра x площадь этого
импульса
равна единице :
¥
П = ò u dt = 1
- ¥
Например,
если u - напряжение, то П =
1 В*с.
Теперь
устремим величину x к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности,
сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать.
Предел последовательности таких функций при
x ® 0 носит
название дельта-функции
, или функции Дирака[1]
:
d(t) = lim u (t;x)
x®0
Дельта
функция - интересный математический объект. Будучи
равной нулю всюдю, кроме как в точке t
= 0 [2]
дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение
дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь
вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой
примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u
(t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение
сигнала на k -
ом отсчете, то элементарный импульс с
номером k представляется как :
hk(t)
= Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ]
(6)
В
соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких
элементарных слагаемых :
¥
S(t) = å h (t)
(7)
k= - ¥ k
В этой
сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет
условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы
(6) в (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага D, то
¥ 1
S(t) = å Sk --- [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] D
k=- ¥ D
Переходя
к пределу при D ® 0 ,
необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной
переменной t, дифференциал
которой dt ,будет отвечать величине D .
Поскольку
1
lim [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] ---
D®0 D
получим искомую
формулу динамического представления сигнала
¥
S (t) = ò s (t) d(t - t) dt
- ¥
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и
произведение проинтегрировать по времени,
то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где
сосредоточен d - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.[3]
Из
определения дельта-функции следует (3)
. Следовательно, интеграл
дельта-функции от - ¥
до t есть
единичный скачок , и дельта-функцию можно
рассматривать как производную единичного скачка :
d(t) = 1’ (t) ;
d(t-t0) = 1’
(t-t0) .
Обобщенные функции как
математические модели сигналов.
В
классической математике полагают, что
функция S(t) должна
принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако
рассмотренная функция d(t) не вписывается
в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный
интеграл. Возникает необходимость
расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в
математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит
простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет ,
то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого
предмета на всевозможные плоскости.
Аналогом проекции исследуемой функции ¦(t) может
служить, например, значение интеграла
¥
ò ¦(t) j(t) dt (8)
- ¥
при известной функции j(t) , которую называют пробной функцией.
Каждой
функции j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное
числовое значение. Поэтому говорят, что формула
(8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций j(t).
Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2).
Если
этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве
пробных функций j(t) задана обобщенная функция ¦(t) [4].
Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а
не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные
фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами
классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в
заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций
получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы
изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются
недостаточными.
Литература :
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ
В
ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ.
