МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО Факультет менеджмента Кафедра ОП И ВЭД Рефератпо дисциплине: «Статистика» на тему : «Ряды динамики» Выполнил: студент группы ВЭД-95-1 Иванов ОлегПроверил: ст. преп. Дружинина И. В. Тюмень 1999 |
1. ПОНЯТИЯ И КЛАССИИКАЦИЯ РЯДОВ
ДИНАМИКИ
1.1
Понятие о статистических рядах динамики .
Ряды
динамики – статистические данные , отображающие развитие во времени изучаемого
явления . Их также называют динамическими рядами , временными рядами .
В
каждом ряду динамики имеется два основных элемента :
1) показатель времени t ;
2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;
В
качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты
(моменты), либо отдельные периоды (годы , кварталы, месяцы, сутки).
Уровни
рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени
изучаемого явления . Они могут выражаться абсолютными , относительными или
средними величинами .
Ряды
динамики различаются по следующим признакам :
1)
По времени . В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов
динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к
отдельным периодам . В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на
моментные и интервальные .
Моментные
ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты
(моменты) времени . Примером моментного ряда динамики является следующая
информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1):
Таблица 1[]
Списочная численность работников
магазина в 1991 году
Дата |
1.01.91 |
1.04.91 |
1.07.91 |
1.10.91 |
1.01.92 |
Число
работников , чел. |
192 |
190 |
195 |
198 |
200 |
Особенностью
моментного ряда динамики является то , что в его уровни могут входить одни и те
же единицы изучаемой совокупности . Хотя и в моментном ряду есть интервалы –
промежутки между соседними в ряду датами , -- величина того или иного
конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами .
Так , основная часть персонала магазина , составляющая списочную численность на
1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях
последующих периодов . Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может
возникнуть повторный счет .
Посредством
моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы , состояние
кадров , количество оборудования и других показателей , отображающих состояние
изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени .
Интервальные
ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за
отдельные периоды (интервалы) времени .
Примером
интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в
1987 – 1991 гг. (таб. 2):
Таблица 2[]
Объем
розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.
Год |
1987 |
1988 |
1989 |
1990 |
1991 |
Объем розничного товарооборота
, тыс. р. |
885.7 |
932.6 |
980.1 |
1028.7 |
1088.4 |
Каждый
уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более
короткие промежутки времени . При этом единица совокупности , входящая в состав
одного уровня , не входит в состав других уровней .
Особенностью
интервального ряда динамики является то , что каждый его уровень складывается
из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени . Например ,
суммируя товарооборот за первые три месяца года , получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре
квартала , получают его величину за год , и т. д. При прочих равных условиях
уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина интервала , к которому
этот уровень относится .
Свойство
суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить
ряды динамики более укрупненных периодов .
Посредством
интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления
и реализации товаров , суммы издержек обращения и других показателей ,
отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды .
Статистическое
отображение изучаемого явления во времени может быть представлено рядами
динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями
отображения результатов развития изучаемых показателей не только за данный
отчетный период , но и с учетом предшествующих периодов . При составлении таких
рядов производится последовательное суммирование смежных уровней . Этим
достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с
начала отчетного периода (года , месяца , квартала и т. д.) .
Ряды
динамики с нарастающими итогами строятся при определении общего объема
товарооборота в розничной торговле . Так , обобщением товарно – денежных
отчетов за последние операционные периоды (пятидневки , недели , декады и т.
д.) .
2)
По форме представления уровней . Могут быть построены также ряды динамики ,
уровни которых представляют собой относительные и средние величины . Они также
могут быть либо моментными либо
интервальными .
В
интервальных рядах динамики относительных и средних величин непосредственное
суммирование уровней само по себе лишено смысла , так как относительные и
средние величины являются производными и исчисляются через деление других
величин .
3) По расстоянию между датами или интервалам времени
выделяют полные или неполные ряды динамики .
Полные
ряды динамики имеют место тогда , когда даты регистрации или окончания периодов
следуют друг за другом с равными интервалами . Это равноотстоящие ряды динамики
. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается .
4)
По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные)
ряды динамики . Если ведется анализ во времени одного показателя , имеем
изолированный ряд динамики . Комплексный ряд динамики получается в том случае ,
когда в хронологической последовательности дается система показателей ,
связанных между собой единством процесса или явления .
1.2
Требования , предъявляемые к рядам динамики
1)
Сопоставимость статистических данных
Основным
условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является
сопоставимость его элементов .
Ряды
динамики формируются в результате сводки и группировки материалов
статистического наблюдения . Повторяющиеся во времени ( по отчетным периодам)
значения одноименных показателей в ходе
статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности .
При
этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды , в которых
могут происходить изменения , приводящие к несопоставимости отчетных данных с
данными других периодов . Поэтому для анализа ряда динамики необходимо
приведение всех составляющих его элементов к сопоставимому виду . Для этого в
соответствии с задачами исследования устанавливаются причины , обусловившие
несопоставимость анализируемой информации , и применяется соответствующая
обработка , позволяющая производить сравнение уровней ряда динамики .
Несопоставимость
в рядах динамики вызывается различными причинами . Это могут быть
разновеликость показаний времени, неоднородность состава изучаемых
совокупностей во времени , изменения в методике первичного учета и обобщения
исходной информации , различия применяемых в различное время единиц измерения и
т. д.
Так
, при изучении динамики товарооборота по внутригодовым периодам
несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности показаний времени
(месяцев , кварталов , полугодий)
При
отсутствии информации о фактическом времени работы для получения сопоставимых
среднесуточных показателей используется режимное время работы . Последнее
различно в зависимости от выполняемых торговлей функций и обслуживаемого
контингента .
Для
розничной торговли возможны следующие варианты режимного времени :
a)
Предприятия ,
работающие без перерыва в праздничные и выходные дни (например , дежурные
продуктовые и хлебобулочные магазины , рестораны , кафе) . Их фонд рабочего
времени соответствует календарному ;
b)
Предприятия ,
не работающие в праздничные дни ( например , городские рынки) . Их фонд
рабочего времени меньше календарного на число ежегодных праздничных дней ;
c)
Предприятия ,
не работающие в праздничные и общевыходные дни
(например, городские промтоварные магазины , предприятия общественного
питания на фабриках , в учреждениях и т. д.) . Величина их рабочего времени
зависит от размещения в каждом календарном году праздничных и выходных дней ;
d)
Предприятия ,
работающие в отдельные периоды времени , сезоны года (например , городские
овощные базары , торговля в местах массового летнего отдыха и т. д.) .
2) Величины временных интервалов должны
соответствовать интенсивности изучаемых процессов . Чем больше вариация уровней
во времени , тем чаще следует делать замеры . Соответственно для стабильных
процессов интервалы можно увеличить .
Так
, переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет ; учет
национального дохода , урожая ведется один раз в год ; ежедневно регистрируются
курсы покупки и продажи валют , и т. д.
3)Числовые
уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени . Не допускается
анализ рядов с пропусками отдельных уровней , если же такие пропуски неизбежны
, то их восполняют условными расчетными значениями.
1.3 Тенденция и колеблемость в рядах
динамики
При
сравнении уровней разных лет можно отметить , что в целом показатель растет .
Однако нередки случаи , когда , например , уровень урожайности предыдущего года
оказывается выше , чем в последующем году . Иногда рост по сравнению с
предыдущим годом велик , иногда мал . Следовательно , рост наблюдается лишь в
среднем , как тенденция . В остальные же годы происходят колебания , отклоняясь
от данной основной тенденции .
Если
рассматривать динамические ряды месячных уровней производства молока , мяса ,
ряды объема продаж разных видов обуви или одежды , ряды заболеваемости
населения , выявляются регулярно повторяющиеся из года в год сезонные колебания
уровней . В силу солнечно – земных связей частота полярных сияний , интенсивность
гроз , те же изменения урожайности отдельных сельскохозяйственных культур и ряд других процессов имеют циклическую 10 –
11 летнюю колеблемость . Колебания числа рождений , связанные с потерями в
войне , повторяются с угасающей амплитудой через поколения , то есть через 20 –
25 лет.
Тенденция
динамики связана с действием долговременно существующих факторов , причин и
условий развития , хотя , конечно , после какого – то периода условия могут
измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого объекта .
Колебания же , напротив , связаны с действиями краткосрочных или циклических
факторов , влияющих на отдельные уровни динамического ряда , и отклоняющих
уровни тенденции то в одном , то в другом направлении .
Например
, тенденция динамики урожайности связана с прогрессом агротехники , с
укреплением экономики данной совокупности хозяйств совершенствованием организации производства .
Колеблемость урожайности вызвана чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных
лет , циклами солнечной активности и т. д.
При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить два ее основных элемента – тенденцию и колеблемость , чтобы дать каждому из них количественную характеристику с помощью специальных показателей . Смешение тенденции и колеблемости ведет к неверным выводам о динамике .
1.4 Структура ряда динамики . Задачи
, решаемые с помощью рядов динамики .
Взаимосвязанные ряды динамики .
Всякий
ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих :
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда ( к увеличению
или снижению его уровней) ;
2) циклические (периодические колебания , в том числе сезонные);
3) случайные колебания.
С
помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально – экономических явлений осуществляется
в следующих основных направлениях :
1) Характеристика уровней развития изучаемых явлений
во времени ;
2) Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей ;
3) Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) ;
4) Изучение периодических колебаний ;
5) Экстраполяция и прогнозирование .
Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие , в которых уровни одного ряда в какой – то степени определяют уровни другого . Например , ряд , отражающий внесение удобрений на 1 га , связан с временным рядом урожайности , ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики средней заработной платы , ряд среднегодового поголовья молочного стада определяет годовые уровни надоев молока и т.д.
2. ПОКАЗАТЕЛИ , РАССЧИТЫВАЕМЫЕ НА
ОСНОВЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ
2.1Статистические показатели динамики
социально – экономических явлений .
Для
количественной оценки динамики социально – экономических явлений применяются
статистические показатели : абсолютные темпы роста и прироста , темпы
наращивания и т. д.
В
основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его уровней . В
зависимости от применяемого способа сопоставления показатели динамики могут
вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения .
Для
расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда
сравнивается с одним и тем же базисным уровнем . Исчисляемые при этом
показатели называются базисными . Для расчета показателей динамики на
переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим .
Такие показатели называются цепными .
Способы
расчета показателей динамики рассмотрим на данных товарооборота магазина в 1987
– 1991 гг. (см. таб. 2).
Абсолютный
прирост – важнейший статистический показатель динамики , определяется в
разностном соотношении , сопоставлении двух уровней ряда динамики в единицах
измерения исходной информации . Бывает цепной и базисный :
1) Базисный абсолютный прирост определяется как
разность между сравниваемым уровнем
и уровнем , принятым за постоянную базу сравнения
(формула 1):
(1)
2) Цепной абсолютный прирост – разность между сравниваемым уровнем
и уровнем , который ему предшествует,
(формула 2):
(2)
Абсолютный
прирост может иметь и отрицательный знак , показывающий , насколько уровень
изучаемого периода ниже базисного .
Между
базисными и абсолютными приростами существует связь : сумма цепных абсолютных
приростов равна базисному
абсолютному приросту последнего ряда динамики
(формула 3):
(3)
Ускорение
– разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом
за предыдущий период равной длительности (формула 4):
(4)
Показатель
абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте , но не в базисном .
Отрицательная величина ускорения говорит о
замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда .
Темп
роста – распространенный статистический показатель динамики . Он характеризует
отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в
процентах .
1) Базисные темпы роста исчисляются делением сравниваемого уровня
на уровень , принятый
за постоянную базу сравнения
, по формуле 5 :
(5)
2) Цепные темпы роста исчисляются делением
сравниваемого уровня
на предыдущий уровень
(формула 6):
(6)
Если
темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на увеличение
изучаемого уровня по сравнению с базисным . Темп роста ,равный единице (или
100%) , показывает , что уровень изучаемого периода по сравнению с базисным не
изменился . Темп роста меньше единицы (или 100%) показывает на уменьшение
уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет
положительный знак .
Между
базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь : произведение
последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста , а частное от
деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему
цепному темпу роста .
Темпы
прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных величинах .
Исчисленный в процентах темп прироста показывает , на сколько процентов
изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню , принятому за базу
сравнения .
1) Базисный темп прироста вычисляется делением
сравниваемого базисного абсолютного прироста
на уровень , принятый за постоянную базу сравнения
(формула 7):
(7)
2) Цепной темп прироста -- это отношение сравниваемого цепного абсолютного
прироста
к предыдущему уровню
(формула 8):
=
:
(8)
Между
показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь , выраженная
формулами 9 и 10:
(%) =
(%) -- 100 (9)
(при
выражении темпа роста в процентах).
=
-- 1
(10)
(при
выражении темпа роста в коэффициентах).
Формулы
(7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам роста .
Важным
статистическим показателем динамики социально – экономических процессов
является темп наращивания , который в условиях интенсификации экономики
измеряет наращивание во времени экономического потенциала .
Вычисляются
темпы наращивания Тн делением цепных абсолютных приростов на уровень , принятый
за постоянную базу сравнения ,
по формуле 11:
(11)
2.2 Средние показатели в рядах
динамики
Для
получения обобщающих показателей динамики социально -- экономических явлений
определяются средние величины : средний уровень , средний абсолютный прирост ,
средний темп роста и прироста и пр.
Средний
уровень ряда динамики характеризует типическую величину абсолютных уровней .
В
интервальных рядах динамики средний уровень у определяется делением суммы
уровней на их число n (формула
12):
(12)
В
моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний уровень
определяется по формуле 13:
(13)
В
моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень определяется
по формуле 14:
, (14)
где
– уровни ряда динамики
, сохранившиеся без изменения в течение промежутка времени
.
Средний
абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных
абсолютных приростов ряда динамики . Для определения среднего абсолютного
прироста сумма цепных
абсолютных приростов
делится на их число n
(формула 15):
(15)
Средний
абсолютный прирост может определяться по абсолютным уровням ряда динамики . Для
этого определяется разность между конечным и базисным
уровнями изучаемого периода , которая
делится на m – 1 субпериодов (формула 16):
(16)
Основываясь
на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными приростами , показатель среднего
абсолютного прироста можно определить по формуле 17:
(17)
Средний
темп роста – обобщающая характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики
. Для определения среднего темпа роста применяется формула
18:
(18)
где
Тр1 , Тр2 , ... , Трn --
индивидуальные (цепные) темпы роста (в коэффициентах), n -- число индивидуальных темпов роста.
Средний
темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда динамики по формуле
19:
(19)
На
основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний темп роста
можно определить по формуле 20:
(20)
Средний
темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между темпами роста и
прироста . При наличии данных о средних темпах роста для получения средних
темпов прироста используется зависимость , выраженная формулой 21:
(21)
(при
выражении среднего темпа роста в коэффициентах)
2.3 Проверка ряда на наличие тренда.
Непосредственное выделение тренда
Изучение
тренда включает в себя два основных этапа :
1) Ряд динамики проверяется на наличие тренда
2) Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение
тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .
Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по
нескольким критериям .
1) Метод средних . Изучаемый ряд динамики разбивается
на несколько интервалов (обычно на два) , для каждого из которых определяется
средняя величина () . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних .
Если эта гипотеза принимается , то признается наличие тренда .
2) Фазочастотный критерий знаков первой разности
(критерий Валлиса и Мура) . Суть его заключается в следующем : наличие тренда в
динамическом ряду утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо
содержит в приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого
порядка (абсолютного цепного прироста).
3) Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд
динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае , когда
число уровней ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и
сравнивают между собой уровни первой и последней групп .
4) Метод серий . По этому способу каждый конкретный
уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов :
например , если уровень ряда меньше медианного значения , то считается , что он
имеет тип А , в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней
выступает как последовательность типов . В образовавшейся последовательности
типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов
одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).
Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению
отсутствует , то количество серий является случайной величиной , распределенной
приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если закономерности в
изменениях уровней нет , то случайная величина R оказывается в доверительном интервале
.
Параметр
t назначается в соответствии с принятым уровнем
доверительной вероятности Р.
Среднее
число серий вычисляется по формуле 22 :
. (22)
Среднее
квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23 :
. (23)
здесь
n
-- число уровней ряда .
Выражение
для доверительного интервала приобретает вид
Полученные
границы доверительного интервала округляют до целых чисел , уменьшая нижнюю границу
и увеличивая верхнюю .
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами .
1) Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на
некоторое достаточно большое число равных интервалов . Если средние уровни по
интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к
расчету уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого
интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .
2) Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни
ряда заменяются средними величинами , которые получают из данного уровня и
нескольких симметрично его окружающих .
Целое число уровней , по которым рассчитывается среднее значение , называют
интервалом сглаживания . Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или
четным (2,4,6 и т.д. точек).
При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение
закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать нельзя .
Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными
, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал , но из крайних его
уровней берут только 50%.
Недостаток
методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения
сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда . Получают их специальными
приемами – расчетом средней арифметической взвешенной . Так , при сглаживании
по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24
:
.
(24)
Для
последней точки расчет симметричен .
При
сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):
(25)
Для
последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен
сглаживанию в двух начальных точках .
Формулы
расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим образом
(формула 26):
для
3--членной . (26)
3) Аналитическое выравнивание . Под этим понимают
определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого
явления . Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только
от течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее
общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех причинных
факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней , соответствующих
общей тенденции , объясняют действием факторов , проявляющихся случайно или
циклически . В результате приходят к трендовой модели , выраженной формулой 27:
, (27)
где
f(t)
– уровень , определяемый тенденцией
развития ;
-- случайное и
циклическое отклонение от тенденции.
Целью
аналитического выравнивания динамического ряда является определение
аналитической или графической зависимости f(t) . На практике по имеющемуся временному ряду задают
вид и находят параметры функции f(t)
, а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала
содержательное объяснение изучаемого процесса .
Чаще
всего при выравнивании используются следующий зависимости :
линейная
;
параболическая
;
экспоненциальная
или
).
1) Линейная зависимость выбирается в тех случаях ,
когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные
абсолютные и цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к
снижению.
2) Параболическая зависимость используется , если
абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию
развития , но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности
второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют .
3) Экспоненциальные зависимости применяются , если в
исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный
относительный рост (устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста ,
коэффициентов роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , --
устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста
цепных же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или
темпов роста и т.д.).
Оценка параметров () осуществляется следующими методами :
1) Методом избранных точек,
2) Методом наименьших расстояний,
3) Методом наименьших квадратов (МНК)
В
большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который
обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от
выравненных :
.
Для
линейной зависимости () параметр
обычно интерпретации
не имеет , но иногда его рассматривают , как обобщенный начальный уровень ряда
;
-- сила связи , т. е. параметр , показывающий , насколько
изменится результат при изменении времени на единицу . Таким образом ,
можно представить как постоянный теоретический абсолютный
прирост .
Построив
уравнение регрессии , проводят оценку его надежности . Это делается посредством
критерия Фишера (F) . Фактический уровень () , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим
(табличным) значением :
,
(28)
где
k -- число параметров функции , описывающей
тенденцию;
n -- число уровней ряда ;
Остальные
необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :
(29)
(30)
(31)
сравнивается с
при
степенях свободы и
уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если
>
, то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель
адекватна фактической временной тенденции.
2.4 Анализ сезонных колебаний
Уровень
сезонности оценивается с помощью :
1) индексов сезонности ;
2) гармонического анализа.
Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень
ряда в момент или интервал времени t больше
среднего уровня либо уровня , вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни временного ряда
показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет .
Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю
арифметическую из одноименных индексов каждого года . Индексы сезонности – это
, по либо уровень существу ,
относительные величины координации , когда за базу сравнения принят либо
средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы определения индексов
сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции .
Если
тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала) индекс
рассчитывается по формуле 32:
(32)
где
-- уровень показателя за месяц (квартал) t ;
-- общий уровень показателя .
Как
отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший
промежуток времени . В этом случае расчет производится по формулам 33 :
(33)
где
-- средний уровень
показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;
Т
-- число лет .
При
наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов , исключающих
влияние тенденции . Порядок расчета следующий :
1) для
каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);
2) рассчитывают отношения ;
3) при необходимости находят среднее из этих отношений
для одноименных месяцев (кварталов) по формуле 34 :
,(Т -- число лет). (34)
Другим
методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ . Его выполняют , представляя временной ряд
как совокупность гармонических колебательных процессов .
Для
каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде формулы 35 :
(35)
при
t = 1, 2, 3, ... , Т.
Здесь
-- фактический
уровень ряда в момент (интервал) времени t;
f(t) –
выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t
-- параметры колебательного процесса
(гармоники) с номером n , в
совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей тенденции и
сдвиг колебаний относительно начальной точки .
Общее
число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда , состоящего из
Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных
гармоник . Параметры гармоники с номером n определяются по формулам 36 –38 :
1) ;
(36)
2)
(37)
при n=1,2,...,(T/2 –
1);
3) (38)
2.4 Анализ
взаимосвязанных рядов динамики .
В
простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов их
приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных уровни за один
и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по темпам роста или
прироста .
Коэффициенты
опережения по темпам роста – это отношение темпов роста (цепных или базисных)
одного ряда к соответствующим по времени темпам роста (также цепным или
базисным) другого ряда . Аналогично находятся и коэффициенты опережения по
темпам прироста .
Анализ
взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при изучении временных
последовательностей . Однако нередко совпадение общих тенденций развития может
быть вызвано не взаимной связью , а прочими неучитываемыми факторами . Поэтому
в сопоставляемых рядах предварительно следует избавиться от влияния
существующих в них тенденций , а после этого провести анализ взаимосвязи по
отклонениям от тренда . Исследование включает проверку рядов динамики
(отклонений) на автокорреляцию и установление связи между признаками .
Под
автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от предыдущих .
Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона
(формула 39) :
, (39)
где
-- отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического (выравненного) значения .
При
К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2 автокорреляция
отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная автокорреляция . Прежде чем
оценивать взаимосвязь , автокорреляцию необходимо исключить . Это можно сделать
тремя способами .
1. Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из
взаимосвязанных рядов динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :
(40)
Далее
выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из отклонений от трендов
, рассчитанным по формулам 41 :
(41)
Для
последовательностей выполняется проверка
на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона . Если значение К близко к 2 ,
то данный ряд отклонений оставляют без изменений . Если же К заметно отличается
от 2 , то по такому ряду находят параметры уравнения авторегрессии по формулам
42 :
(42)
Более
полные уравнения авторегрессии можно получить на основе анализа
автокорреляционной функции , когда определяются число параметров () и соответствующие этим параметрам величины шагов .
Далее
по формуле 43 подсчитываются новые остатки :
(t = 1, ... , Т) (43)
и , по формуле 44,
коэффициент корреляции признаков :
. (44)
2. Корреляция первых разностей . От исходных рядов
динамики Х и У переходят к новым , построенным по первым разностям (формулы 45)
:
(45)
По
DХ и DУ определяют по
формуле 46 направление и силу связи в регрессии:
(46)
3. Включение времени в уравнение связи : .
В
простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):
(47)
Из
перечисленных методов исключения автокорреляции наиболее простым является
второй , однако более эффективен первый .